История великого числа: Пи в арабской математике

Мустафа Мавалди (Moustafa Mawaldi)

Цель этой статьи – проследить историю вычисления значения числа π математиками разных эпох и народов. Наша главная задача – показать взгляды на значение π математиков арабо-исламской цивилизации.

 

Введение

Греческой буквой π («пи») определяется отношение длины окружности к ее диаметру. Этот показатель необходим при подсчетах площадей и других параметров математических фигур: круга, куба, конуса, сферы, и следовательно, его практическое применение поистине неисчерпаемо.

Не удивительно, что математикам Греции, Китая, Индии, арабских стран и Европы, было исключительно важно как можно точнее вычислить значение числа «пи». 
 

Рис. 1. π, символ и значение

Мы расскажем, в чем заключались достижения и новаторство исламских ученых в этой области, и о том, как арабские ученые не прекращали попытки с максимальной точностью вычислить значение числа π, на основании известных математических теорий и собственных доказательств.

 

Значение числа «пи»

Символом π («пи») математически обозначают отношение длины окружности к длине ее диаметра. Считается [1], что этим символом пользуются с 1766 года; это малая буква греческого алфавита и первая буква слова «окружность» на греческом языке.

Рис. 2: Обложка книги «Пи: справочные материалы» (Л. Берггрен, Дж.М. Борвейн, П.Б. Борвейн (L. Berggren, J.M. Borwein, P.B. Borwein))

В статье о числе π во французском толковом «Словаре Робера» [2] сказано, что название данной математической величины – греческого происхождения и вошло во французский язык в XIX веке.
π - шестая буква греческого алфавита, в современных европейских языках ей соответствует буква «р».

С точки зрения геометрии, это сокращение от греческого слова «периферия» и символ, обозначающий неизменную величину, обозначающую постоянное отношение длины окружности к длине ее диаметра, равное приблизительно 3,1415926.

 

Попытки вычислить значение π в разные периоды истории человечества

Греческая цивилизация

Один из величайших греческих ученых Архимед (287-212 годы до нашей эры) известен своими многочисленными открытиями в таких областях, как математика, физика и инженерное искусство.

Одним из самых известных его достижений является вычисление отношения длины к диаметру окружности; он рассчитал, что значение π укладывается в рамки следующего неравенства:

3 10/71 < π < 3 1/7

Архимед представил доказательство этого знаменитого приближения в своем трактате «Об измерении круга» [3], в котором выдвинул три предположения и доказал их.

В первом он доказывает, что площадь любого круга равна площади прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен радиусу круга, а другой – длине окружности (периметру круга).

Во втором предположении он доказывает, что длина окружности более чем в три раза превышает по длине ее диаметр, составляет меньше одной седьмой длины диаметра и больше десяти семьдесят первых длины диаметра.

Верхнюю и нижнюю границы для числа Архимед получил путем последовательного рассмотрения отношений периметров к диаметру правильных описанных и вписанных в круг многоугольников, начиная с шестиугольника и заканчивая 96-угольником. Отсюда он вычислил отношение периметра вписанного многоугольника к диаметру круга.

В третьем он доказал, что отношение длины окружности к ее диаметру меньше 3 1/7, но больше 3 10/71. Он пояснил, что если длина окружности составляет три длины диаметра плюс одна седьмая его длины – знаменитое приближение для числа π – то площадь круга относится к площади квадрата, построенного на его диаметре, приблизительно как 11 к 14.

Архимед строил свое вычисление значения π на теореме Евклида (330-290 годы до нашей эры), обнаруженной в XII веке в книге «Начала» [4].

Евклид утверждает, что существует ряд отношений между площадью круга и площадью квадрата, одна из сторон которого равна половине диаметра круга.

Таким образом, первоначальным предположением было, что π приблизительно равно 3 1/7 или 22/7. Это упрощенный расчет значения π, который применяется при решении геометрических задач на практике [5].

 

Китайская цивилизация

Историю китайской математики невозможно изучить, не обратившись к фундаментальному труду неизвестного автора «Математика в девяти книгах» (Цзю чжан суань шу) [6]. Текст предположительно относится к I веку нашей эры и служит одним из основных источников знаний о китайской математике до XIII века.

В тексте предложено множество способов подсчета площади круга, в том числе такие, которые мы считаем ошибочными:

1) S1 = 3/4d2 (правильная формула: S1 = πd2/4);

2) S1 = 1/12l2 (правильная формула: S1 = l2/4π), где l - длина окружности, d – диаметр, S1 – площадь круга.

В этих двух уравнениях значение π считается равным трем, что дает погрешность при подсчете площади круга.

В конце V века [7] Цзу Чунчжи привел значение числа π, равное отношению 355/113. Его сын Цзу Кэнчжи углубил знания о числе π, и в своих работах использовал величину, равную 22/7.

В истории науки в Энциклопедии арабской науки [8] Розенфельд и Юшкевич упоминают имя китайского ученого астронома Чжана Хэна (78-139 годы), который уточнил значение числа π, предложив два его эквивалента: 92/29 ≈ 3,1724…и √10 ≈ 3,1622…

Тем не менее, китайские математики продолжали пользоваться приблизительным значением π, округляя его до 3, вплоть до XIX века, потому что это было удобно при вычислениях.

 

Индийская цивилизация

Индийские математики сделали большой вклад в вычисление значения числа π. С VII века астроном Брахмагупта (родился в 598 году) пользовался значением √10.

Множество вариантов значения π предложил и другой индийский астроном Арьябхата (родился в 476 году), а именно: 62832/20000; 3 177/1250 и 3.1416 [9]. Однако сам он пользовался значениями √10 или 3. [10]

Через девять столетий, приблизительно в XV веке, астроном и математик Мадхава пришел к вычислению длины окружности с помощью приблизительного значения числа π с точностью до 11 цифр, а именно 3.14159265359. Но последняя цифра 9 была ошибочной, ее следует заменить на 8. [11]

В XVI веке индийский математик пользовался в качестве числа π значением 355/133 и предложил следующее правило для его вычисления:

π/4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 - …  

 

Арабо-исламская цивилизация

Арабские ученые сделали огромный вклад в поиски истинного значения числа π и вычисление отношения длины окружности к ее диаметру, и их достижения оказали большое влияние на развитие математической науки.

Из математиков, чьи имена связаны с данным вопросом, хотелось бы упомянуть ученых, живших в период с IX по XV века.

Во-первых, это три брата Бану Мусса бин Шакир (Багдад, III век хиджры /IX век), знаменитый математик, «отец алгебры» Мухаммад ибн Мусса аль-Хорезми ( III век хиджры /IX век), ученый, автор различных математических трудов Абу Сахл Виджан ибн Рустам аль-Кухи (умер около 390 года хиджры /1000 год), выдающийся ученый энциклопедических знаний Абу аль-Райхан аль-Бируни (умер в 440 году хиджры /1048 год) и, наконец, автор широко известного математического трактата «Мифтах аль-хисаб» (Ключи арифметики) Джамшид ибн Масуд ибн Махмуд аль-Каши (умер в 1429 году).

В данном разделе мы перечислим некоторые их достижения в вычислении значения числа π и методы, использованные ими для этих сложных расчетов. 

 

Вычисление значение числа «пи» арабскими математиками

Бану Муса

В своей книге «Китаб фи марифат мисахат аль-ашкал аль-басита ва аль-курийа» (Измерение плоских и объемных фигур) братья Бану Муса доказали, что отношение длины окружности к диаметру находится в пределах неравенства 3 10/71 < l/d < 3 1/7 [12], где l – длина окружности, а d – диаметр.

Бану Муса также упомянули, что это соотношение доказал еще Архимед, вычислив приблизительное значение числа π:

«Чтобы доказать отношение диаметра к окружности по методу Архимеда, который не дошел до нас в том виде, в каком существовал в его время, даже если этот метод не позволяет, измерив одно и другое, получить истинное значение, он позволяет нам вывести значение одного из другого точнее, чем мы предполагали получить» [13].

Однако они считали метод Архимеда неполным и не дающим истинного значения, и их метод, по-видимому, отличался от метода Архимеда. [14]

Современные исследователи [15] считают, что доказательство братьев Бану Муса об измерении отношения длины окружности к ее диаметру является важным достижением, так как получено в результате более серьезных вычислений, чем архимедовы.

Рошди Рашед (Roshdi Rashed) [16] упоминает, что Бану Муса смогли «объяснить метод, использованный Архимедом для получения приблизительного значения числа π, и сделали из этих расчетов свои выводы».

 

Мухаммад аль-Хорезми

В своей книге «Аль-Джабр валь-мукабала», написанной в 813-833 годах, он приводит правила для вычисления длины окружности:

«При умножении диаметра любого круга (мудаввара) на три целых и одну седьмую, получаем длину его окружности (давр), эта величина необходима людям, а для тех, кто занимается геометрией, есть еще два способа: если умножить длину диаметра саму на себя, затем на десять, а затем извлечь из этого результата корень, то получится длина окружности.

Другой – используемый астрономами: умножить диаметр на 62832, разделить на 20000, полученный результат есть длина окружности, и все они близки друг к другу…» [17]

Таким образом, Аль-Хорезми дает три значения числа π: 62832/20000; √10 и 3 1/7. Его труд был снабжен маргиналиями, которые попали в современные издания.

В них сказано:

«Это приближение, а не доказательно, и никто не настаивает на их истинности и никто, кроме Аллаха, не знает истинную длину окружности, так как это не прямая линия, не имеющая ни начала, ни конца, мы просто пытаемся приблизиться и найти корень, но даже корень не имеет определения, потому что никто не может знать его точное значение, кроме Аллаха, и лучшее из этих приближений – умножить диаметр на три целых и одну седьмую, потому что это быстрее и проще, и только Аллах может знать истину» [18].

Мы также отмечаем, что в вычислениях площади круга в своей книге он принимает в качестве значения числа пи 22/7. [19] 

 

Виджан ибн Рустам аль-Кухи

[Высокопоставленный багдадский чиновник и современник аль-Кухи] Абу-Исхак аль-Саби [20] вел переписку с аль-Кухи, в том числе, о его методе выведения зависимости диаметра круга от длины периметра, и просил его рассказать ему об этом [21]:

«Я бы хотел… отправить все полученные сведения, особенно, об отношении диаметра к окружности. Что касается соотношения одного числа к другому, то это интересно и полезно для меня лично».

Аль-Кухи отвечает на вопросы аль-Саби, после чего переходит к обсуждению своей работы о центре тяжести и говорит [22]:

«Из четырех предметов, которые я здесь привожу, мы сделали удивительные выводы, доказывающие величие и порядок Творца, например, в вопросах, касающихся сферы и цилиндра Архимеда.

Разве не удивительно, что сфера равна двум третьим цилиндра, как он доказал и описал, и что параболоид равен его половине, как доказал Сабит ибн Кура, и что конус равен одной третьей, как было показано древними? Мы обнаружили в [исследовании] центров тяжести порядок, впечатливший нас».

Затем он переходит к своей теории и доказательству, обнаруженному в тексте ибн аль-Салаха, согласно которому длина окружности в три целых и девять десятых раза превышает длину диаметра. При этом опирается на следующие три леммы:

• Лемма 1: Центр тяжести полукруга лежит на перпендикуляре, проведенном из его центра к окружности, в точке, отстоящей от диаметра на три седьмых его длины.
• Лемма 2: Даны две части двух кругов с одним центром. Если длина полудиаметра одного относится к длине полудиаметра другого как три к двум, и если они подобны, то отношение центра тяжести меньшей дуги равно центру тяжести большей дуги.
• Лемма 3: Отношение дуги к длине ее хорды равно отношению полудиаметра данного круга к длине линии, расположенной между центром круга и центром тяжести хорды.

Аль-Кухи заключает свое послание:

«Если посмотреть на труды Архимеда, то длина окружности меньше длины трех диаметров и седьмой части диаметра, что согласуется с нашей работой, и не отходит от нее, и одна девятая меньше одной седьмой, и он также утверждает, что она больше длины трех диаметров и десяти из семидесяти одной части диаметра, и это не согласуется, если только он не подразумевает девяносто одну часть вместо семьдесят одной… и мы никоим образом не позволяем себе думать ничего нехорошего о тех, кто предшествовал нам в этой работе, потому что он - Архимед, и он был первопроходцем в этой области» [23].

Аль-Кухи попытался найти более точное значение π, но это ему не удалось, и до того, как это было сделано, многие другие также предпринимали безуспешные попытки.

 

Абу Райхан аль-Бируни

В пятой главе [24] (Об отношении между окружностью и диаметром) третьей книги «аль-Канун аль-Масуди» Абу аль-Райхан подсчитывает длины периметров ломаной линии из 180 отрезков, вписанной и описанной вокруг окружности, и берет их среднее значение.

Отсюда он вычисляет значение π: 3,1417.[25] Таким образом, полученное им значение не является более точным, чем 3.1416 – значение π, известное индийским математикам.

 

Джамшид аль-Каши

Рис.3: Иранская марка 1979 года в память аль-Каши

Аль-Каши считается одним из величайших исламских ученых, сделавших большие научные открытия, способствовавшие развитию современной цивилизации.

В одной из своих работ «аль-Рисала аль-мухитийа» (Трактат об окружности) он также вычисляет значение числа π. Аль-Каши измеряет периметр вписанного и описанного равносторонних многоугольников, каждый из которых имеет по 3 · 228 = 805306368 сторон [26]. Хотя он действует по методу Архимеда, последний, также как и Бану Мусс, ограничил свои подсчеты многоугольниками с 96 сторонами.

После вычисления периметра этих двух фигур он предположил, что длина окружности равна среднему арифметическому двух полученных чисел и пришел к результату: 3;8, 29, 44, 0, 47, 25, 53, 7, 25 (в шестидесятиричной системе), которые он перевел в десятичную систему и получил π= 3,14159265358979325.

Розенфельд и Юшкевич указывают, что он ошибся только на одну цифру – последнюю, вместо 5 правильно было бы 38. Европа пользовалась этим числом еще 150 лет после аль-Каши, в XVI веке голландский математик по имени Адриан ван Ромен получил то же приближение числа π.

Рис.4: страница рукописи вычисления числа π аль-Каши: таблица чисел, кратных отношению длины окружности к длине диаметра

В своей книге «Ключи арифметики» аль-Каши указывает, что некоторые математики определили значение π как 3 1/7, по этому поводу он пишет [27]:

«Знайте, что окружность равна трем диаметрaм и части диаметра, которая меньше одной седьмой диаметра, однако многие удовлетворились использованием одной седьмой для легкости».

Аль-Каши утверждает, что его вычисления точнее вычислений Архимеда, и определяет значение π [28], говоря, что: «Архимед сказал, что оно должно быть меньше одной седьмой и больше десяти семьдесят первых, откуда мы собрали и упомянули в нашем тексте об окружности:

3;82944, отняв четверти и все последующее, если диаметр один»

Это более точное вычисление, чем архимедово, и более близкое к точному значению π, и аль-Каши утверждает, что оно «близко настолько, насколько возможно, кроме того, что знает один Всемогущий Аллах».

Рис.5: Применение закона косинуса: неизвестны сторона и угол. В тригонометрии закон косинуса известен как закон аль-Каши. Относится к произвольному треугольнику и показывает отношение длин сторон и косинуса одного из его углов. Аль-Каши был первым, кто смог предложить однозначную формулировку этой теоремы.

Точные расчеты аль-Каши, возможно, не находили применения в его время, но он был передовым мыслителем, ученым, добивающимся точных результатов ради развития науки.

 

Рекомендованная литература

Al-Daffa, Ali Abdullah, The Muslim contribution to mathematics. London: Croom Helm, 1977. 
Anbouba, Adil, "L`algèbre arabe aux IXe et Xe siècles : apercu général", Journal for the History of Arabic Science, vol. 2 (1), 1978, pp. 66-100. 
Berggren, J. L., Episodes in the mathematics of Medieval Islam. Berlin: Springer-Verlag, 1986. 
Berggren, L., Borwein J.M., and Borwein, P.B. Pi: A Source Book. Berlin: Springer-Verlag, 1997; second edition, 2000. 
Beckmann, Petr, A History of Pi. St. Martin`s Griffin, 1976, (Paperback). 
Borwein, Jonathan M., The Life of Pi History and Computation. Prepared for Australian Colloquia (June 21-July 17, 2003). 
Gourdon , Xavier, and Sebah, Pascal, p and its computation through the ages. 
Ibn Lablan, Kushyar. Principles of Hindu Reckoning. Univ. Wisconsin Press, Madison, 1966. 
Luckey, P., Die Rechenkunst bei Gamšid b. Mas`ud al-Kaši. Wiesbaden: Steiner, 1951. 
Mawaldi, Moustafa, "Geometry in Banu Musa Ibn Shakir", in The 36th science week in homage to the Banu Musa (2-7 november 1996) (in Arabic). Damascus: The Supreme Council of Sciences, 1998. 
O`Connor, John J. & Robertson, Edmund F., A History of Pi. In: MacTutor History of Mathematics archive. 
O`Connor, John J. & Robertson, Edmund F., Ghiyath al-Din Jamshid Mas`ud al-Kashi. MacTutor History of Mathematics archive. 
O`Connor, John J. & Robertson, Edmund F., Arabic mathematics: forgotten brilliance, MacTutor Math History Archives, November 1999. 
Rashed, Roshdi, Entre arithmétique et algèbre: Recherches sur l`histoire des mathématiques arabes. Paris: Les Belles Lettres, 1984. 
Rashed, Roshdi,The Development of Arabic Mathematics : Between Arithmetic and Algebra. London, 1994. 
Rosen, F., (ed. and trans.), The Algebra of Mohammed ben Musa. London, 1831, reprinted 1986. 
Saidan, Ahmad Sa`id, (ed. and trans.), The Arithmetic of al-Uqlidisi. Dordrecht: Reidel, 1978. 
Siddykov, H., "The role of the scientists of ancient Khorezm in the development of the exact sciences" (in Russian), Vestnik Karakalpak. Filiala Akad. Nauk USSR vol. 2, 1967, pp. 3-14. 
Struik, D.J., A Source Book in Mathematics, 1200-1800. Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1969. Repriented at Princeton University Press, 1986. 
Van Brummelen, Glen, "Jamshid al-Kashi: Calculating Genius", Mathematics in School, vol. 27, No. 4, 1998, pp. 40-44. 
Wilson, David, The History of Pi. History of Mathematics, Rutgers University, Spring 2000.

 

Ссылки и рекомендованная литература

[1] Marcel Boll, Histoire des Mathématiques (Que sais- je? No. 42). Paris: Presses Universitaires de France, 13e édition, 1979, p. 43. 
[2] See Paul Robert, Le Petit Robert, Dictionnaire de la Langue Française, Paris: Le Robert, 1984, pp. 1429-1430, entry "Pi". 
[3] Archimedes, Taksir al-da`ira, maqala mulhaqa bi-kitab "Al-Kura wa-`l-ustuwana" li-Arkhimidis, tahrir Nasir al-Din al-Tusi, in Rasa`il al-Tusi. Haydarabd: Da`irat al-ma`arif al-`uthmaniya, 1359 H, pp. 127-133; Heath, T.L. (ed.), The Works of Archimedes (Dover Edition, 1953), 93-98; originally published in 1897, Cambridge University Press; Archimède, La Mesure du Cercle, Texte établi et traduit par Charles Mugler, Paris : Les Belles Lettres, 1970, vol. 1 , pp. 135-143. 
[4] Euclid, The Elements, with Introduction and Commentary by Thomas Heath, 2nd edition, Dover Publications, New York, 1956, vol. 3, Book XII, pp. 365-437. 
[5] Emile Noël, Le Matin des Mathématiciens, Entretiens sur l`histoire des mathématiques. Édition Belin – Radio France, 1985, p. 60. 
[6] Karine Chemla, "Theoretical aspect of the chinese algorithmic tradition (first to third century)", Historia scientiarum, No.42, (1991), p. 75. 
[7] J.-C. Martzloff, Histoire des Mathématiques Chinoises, Masson, Paris, 1987, pp. 265, 270. 
[8] Boris A. Rosenfeld and Adolph P. Youschkevitch, Geometry, in Encyclopedia of the History of Arabic Science, edited by R. Rashed, vol. 2, Routledge, 1996. Arabic translation: Mawsu`at tarikh al-`ulum al-arabiya. Beirut: Markaz dirasat al-wahda al-`arabiya, 1997, p. 577. 
[9] Rosenfeld and Youschkevitch, op. cit., p. 577. 
[10] Qadri Hafez Tuqan,Turath al-`arab al-`ilmi fi `l-riyadhiyat wa `l-falak, Cairo, 1941, p. 19. 
[11] E. Noël, Le Matin des Mathématiciens, op. cit., p. 132. 
[12] Banu Musa, Mohammad, al-Hassan and Ahmad, Kitab fi ma`rifat misahat al-ashkal al-basita wa al-kuriya, recension (tahrir) by Nasir al-Din al-Tusi, Hayderabad: Da`irat al-ma`arfial-`uthmaniya, 1359 H, p. 9. See also Moustafa Mawaldi, "Geometry in Banu Musa Ibn Shakir", in The 36th science week in homage to the Banu Musa (2-7 november 1996) (in Arabic). Damascus: The Supreme Council of Sciences, 1998, p. 107. 
[13] Banu Musa, Kitab fi ma`rifat misahat al-ashkal al-basita wa al-kuriya, op. cit., p. 6. 
[14] Abdel Magid Nusair, "Mathematics in the Islamic Civilisation", Proceedings of the Conference on the Arabic Heritage in Exact Sciences, Tripoli (Lybia), 1990, p. 88. 
[15] Fuat Sezgin, Conferences in the History of Arabo-Islamic Sciences (in Arabic), Frankfurt, 1984, p. 71. 
[16] Roshdi Rashed, "Infinitesimal Determinations, Quadrature of Lunules and Isoperimetric Problems", inEncyclopedia of the History of Arabic Science, edited by R. Rashed, Arabic translation, Beirut, 1997, vol. 2, p. 542. 
[17] Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, Kitab al-jabr wa-`l-muqabala, edition and commentary Mustafa Musharrafa and Muhammad Musa Ahmad. Cairo: Publications of the Faculty of Sciences, 1939, pp. 55-56. 
[18] Al-Khwarizmi, Kitab al-jabr wa-`l-muqabala, op. cit, pp. 55-56. 
[19] Al-Khwarizmi, Kitab al-jabr wa-`l-muqabala, op. cit, p. 64. 
[20] On the mathematician al-Quhi`s life and works, see Khayr al-Din al-Zirikli, Al-A`lam, 10th edition, Beirut: Dar al-`ilm li-`l-mlayin, 1992, vol. 8, p. 127. 
[21] Abu Ishaq al-Sabi, Risalat Abi Ishaq al-Sabi ila abi Sahl al-Quhi wa jawabuha, Al-Zahiriya Library, MS 5648 General; Library of the Institute for the History of Arabic Science in Aleppo, microfilm number 1698, folio 196r. 
[22] Al-Sabi, Risala…, op. cit., folio 197v. 
[23] Al-Sabi, Risala…, op. cit., folio 199v. 
[24] Al-Biruni, Al-Qanun al-mas`udi, Haydarabad: Da`irat al-ma`arif al-`uthmaniya, 1373 H [1954], vol. 1, pp. 303-304. 
[25] Adolph P. Youschkevitch,Les Mathématiques Arabes, French translation. Paris: Vrin, 1976, pp. 150-151. 
[26] Boris A. Rosenfeld and Adolph P. Youschkevitch, Geometry, inEncyclopedia of the History of Arabic Science, op. cit., pp. 582-584. 
[27] Jamshid al-Kashi, Miftah al-hisab, edited by Nadir al-Nablusi, Damascus: Publications of the Ministery of Higher Education, 1977, p. 247. 
[28] Al-Kashi, Miftah al-hisab, op. cit., p. 247.

Источник: Muslim Heritage