Слава королеве математики!

Махбуб Гани (Mahbub Ghani)

Теория чисел, которую Фридрих Гаусс называл «королевой математики», имеет принципиальное значение для обеспечения интернет-безопасности. Давайте вспомним, какие мусульманские ученые посвятили свои труды теории чисел.

— Что особенного в числах 6, 28, 496 и 8128?

— Какого рода связь существует между следующими парами чисел (за эту связь их называют «дружественными»): 220 и 284, 17296 и 18416, 9363584 и 9437056?

— Почему числа 2, 3, 5, 7, взятые из бесконечного ряда чисел, называют «атомами арифметики»?

Эти числа, как и многие другие, изучает отрасль математики, которую один из величайших математиков мира Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) нарек «королевой математики». Завидное положение, учитывая, что он же считал математику «царицей наук». Специалисты называют эту отрасль более прозаически: теория чисел, или высшая арифметика.

Как и во многих других областях науки, первыми, кто не только обратил внимание на особые свойства чисел и связи между ними, но и занялся их систематическим анализом, по-видимому, были древние греки. Числа из первой из приведенных выше групп — 6, 28 и т.д. — называются совершенными. Их изучали, в частности, Пифагор, полагая, что они обладают мистическими свойствами, а также сам «отец математики» Евклид.

Совершенными числами называются числа, равные сумме собственных положительных делителей. (Делитель а числа n делит n без остатка. Если быть точными, то n всегда делится на n без остатка. В данном случае, делитель отличен от самого числа). Например, собственными делителями числа 6 являются 1, 2 и 3, которые в сумме дают 6. Число 28 — это сумма чисел 1, 2, 4, 7, 14, являющихся его делителями.

Имя Аль-Хасана ибн аль-Хайсама (ум. 1040 г., Каир) наиболее известно за его открытия в оптике. Как в случае многих ученых исламской цивилизации, интеллектуальное любопытство Ибн аль-Хайсама толкало его на исследования в целом ряде дисциплин, в том числе, в теории чисел. В частности, он описывал свойства совершенных чисел, которые он перечислил в своем неопубликованном сочинении «Анализ и синтез». В своих «Началах» Евклид доказал, что если разность 2k–1 простое число[1], то 2k-1. (2k–1) – совершенное число[2] для любого целого k, если оно больше 1. Предположим, что k=3. Тогда 23–1=7. Число 7 простое и 22. (23–1)=28. 28 – это второе совершенное число после 6. Все ли совершенные числа можно получить при помощи Евклидовой формулы? Этот вопрос не так прост, как кажется. На самом деле, для математиков он до сих пор остается открытым! Нужно сказать, что очень часто утверждение математической теоремы не работает в обратной формулировке, одной из таких теорем является теорема Евклида. Ибн аль-Хайсам задался целью доказать верность обратного утверждения. Нельзя сказать, что ему это до конца удалось – простим ему это, так как решение этой задачи ускользало от лучших математиков. Однако есть предположения, что Ибн аль-Хайсам был первым, кто попытался доказать, что каждое четное совершенное число может быть приведено к форме 2k-1.(2k–1), где разность 2k–1 – простое число. И прошло еще семьсот лет до того, как Леонгарду Эйлеру удалось предоставить полное, корректное и оптимальное доказательство обратной теоремы.

Прежде чем мы оставим Ибн аль-Хайсама, следует отметить, что, по-видимому, он был первым, кто сформулировал теорему, впоследствии ставшую известной как «теорема Вильсона», которая гласит, что если число р простое, то 1+(р–1)![3] всегда будет делиться на р. Судя по всему, первое доказательство этой теоремы было предложено Лагранжем в 1771 году. Таким образом, «должно было пройти 750 лет после аль-Хайсама, чтобы теория чисел превзошла достижения арабской математики» (Арабская математика: забытая слава? Дж. Дж. О'Коннор, Е. Ф. Робертсон)[4].

В своем сочинении "Opuscula" Ибн аль-Хайсам использует будущую «теорему Вильсона» для решения следующей задачи:

«Найти такое число, при делении которого на 2, в остатке оставалось 1, при делении на 3 в остатке оставалось 1, при делении на 4 в остатке оставалось 1, при делении на 5 в остатке оставалось 1, при делении на 6 в остатке оставалось 1, а на оно 7 делилось бы без остатка».

Ибн аль-Хайсам описывает общий метод решения этой задачи, которую можно представить выражением (7–1)!+1. Применяя теорему Вильсона, мы видим, что делителем этого числа является простое число 7, а если делителями являются 2, 3, 4, 5 и 6, в остатке остается 1. (Так, (7–1)!+1=6х5х4х3х2+1).

Теперь перенесемся из Каира, где прошли наиболее плодотворные годы Ибн аль-Хайсама, в предыдущее столетие, в знаменитый «Дом мудрости» в Багдаде времен халифа аль-Мутадида из династии Аббасидов. По пути в Харран (современная Турция) один из братьев Бану Муса, Мохаммед ибн Муса ибн Шакир, известный своими выдающимися научными трудами, повстречал Сабита ибн Курра(ум. 901 г., Багдад). Ибн Шакир, прославившийся как собственными исследованиями, так и меценатством, заметил его талант к языкам и потенциал ученого.

Сабит отправился с будущим наставником в Багдад, где ему предстояло заняться уникальными исследованиями в области математики, кроме того, в сфере его научных интересов оказались логика, психология, этика, классификация наук, грамматика сирийского языка, политика, тема символизма Платоновской «Республики», религия и обычаи сабейцев.

Что касается его вклада в математику, то Сабит сыграл важную роль в поиске путей к таким открытиям, как расширение теории чисел до положительных действительных чисел, интегральным вычислениям, доказательство теорем сферической тригонометрии, аналитической геометрии и неэвклидовой геометрии. В астрономии Сабит стал одним из первых реформаторов системы Птолемея, в механике — основателем статики.

Как и его греческие предшественники, Сабит был очарован свойствами чисел и проявил особую интеллектуальную одаренность, описав некоторые пары чисел, находящихся друг с другом в особой связи. Этому вопросу он посвятил целый трактат, который называется «О простом способе определения дружественных чисел». Числа n и m являются дружественными, если сумма собственных делителей одного числа равна второму числу. То есть, если сумму собственных делителей числа n обозначить какS(n), то числа m и n являются дружественными[5], когда S(n)=m и, наоборот, S(m)=n.

Мусульманские ученые восхищались греками за строгость, красоту и организацию, которые те привнесли в науку. В частности, по примеру греческих ученых, мусульманские математики понимали необходимость доказательства своих гипотез. Именно в силу требования обязательного логического доказательства любых утверждений математика считается точной наукой. Математика, нашедшего красивое и изящное доказательство теоремы, можно поставить на одну ступень с художником, создавшим великое произведение искусства. В то время как многие математики занимаются исследованиями и открытиями на этой странной и удивительной территории, математическое доказательство показывает другим их шаги, раскрывают тайну их опыта. Очень точно об этом сказал знаменитый кембриджский математик Г.Х. Харди (G. H. Hardy):

«Я всегда считал математика, в первую очередь, наблюдателем, человеком, который издалека рассматривает горы и записывает свои наблюдения».

Именно доказательство придает математике почти духовное качество. Это ощущение хорошо выразил Маркус дю Сутуа (Marcus du Sautoy):

«Это удивительное чувство волнения при открытии пути к вершине какого-нибудь отдаленного пика, который привыкли видеть многие поколения. Это как написание чудесного рассказала или музыкальной пьесы, которые действительно переносят ум из знакомого в неизвестное… Даже те, кто идут по стопам первого пионера, испытывают то же чувство духовного подъема, сопровождавшее его в момент прозрения при открытии нового доказательства».

В исследовании совершенных чисел Сабит был последователем Евклида и Никомаха, но как лучшие ученики, он не остановился на знаниях, приобретенных от учителей, отмечая, что «эти авторы равным образом никогда не упоминали о своем интересе [к дружественным числам]». Сабиту не просто нравилось наблюдать за удивительной жизнью чисел, благодаря чему он пришел к открытию дружественных чисел. Он мастерски изобразил эту жизнь во всей ее красе и оставил ориентиры для тех, кто хочет проделать тот же путь вслед за ним:

«Поскольку в моем мозгу возник этот вопрос [о дружественных числах] и поскольку я нашел их доказательство, я не хотел писать правило без убедительного доказательства, потому что на них не обратили внимания [Евклид и Никомах]. Таким образом, я докажу их после предварительного введения необходимых лемм».

Сначала Сабит дает девять лемм[6], затем формулирует и доказывает свою теорему:

Для n>1 пусть p­­­n=3.2n–1 и qn=9.22n-1–1. Если p­­­­­n-1, pn и q­n являются простыми числами, то a=2npn-1p­­n и b=2nq­n – дружественные числа.

Вероятно, Сабит был первым, кто открыл пару дружественных чисел 17296 и 18416. В XII-XIV вв. изучением дружественных чисел увлеклись ученые при дворе Роберта Анжуйского в Неаполе, узнавшие о них из сочинений мусульман, переведенных на иврит Самуэлем ибн Йехудой. Традиционный интерес мусульманских ученых к совершенным и дружественным числам возродился благодаря трудам аль-Фариси (ум. 1320 г., Иран). Он нашел новое доказательство теоремы Сабита, в котором он ввел важные новые идеи из области факторизации и комбинаторики. Важно, что критика аль-Фариси строилась на одном из важнейших результатов теории чисел: основной теореме арифметики. Аль-Фариси пытался доказать эту теорему. Дружественные числа 17296 и 18416, известные как пара Эйлера, на самом деле, нашел аль-Фариси на несколько веков раньше. Он же исследовал вопрос о решениях уравнения x4+y4=z4 в целых ненулевых числах, и правильно заключил, что таких решений не существует. Данное уравнение – частный случай легендарного вида уравнений, ставших предметом знаменитой «последней теоремы Ферма»[7]. Намного позже, в XVII веке, еще одну пару дружественных чисел 9 363 584 и 9 437 056 вычислил Мохаммед Бакир Йазди (тоже задолго до Эйлера).

В заключение стоит отметить ценность этой, на первый взгляд, бессмысленной игры с абстрактными объектами. Об этом писал Харди в своем остроумном и изящном эссе «Апология математика». Он берет на себя смелость утверждать, что любая «полезная» математика (в том смысле, что она имеет прикладное значение) может, в конце концов, может быть использована как во благо, так и во зло. Тогда как самая интересная математика — это чистая математика, в частности, теория чисел, которая является воплощением красоты, лаконичности и совершенства. Математики, создающие математические модели, подобны художникам или поэтам. Более того, все математические модели должны быть прекрасны:

«В мире нет места уродливой математике… Возможно, "бессмертие" — глупое слово, но, вероятно, математик имеет на него наибольшие шансы, что бы оно ни значило».

Такая математика приносит удовольствие и наслаждение тому, кто ею занимается. Как сказал Анри Пуанкаре (Henri Poincare):

«… не потому, что это полезно — он занимается ею, потому что наслаждается этим, и наслаждается — потому что это красиво. Если бы Природа не была красивой, ее не стоило бы познавать, и если бы Природу не стоило познавать, жизнь не стоила бы того, чтобы жить».

Математики занимаются абстрактными числами, которые — это подтвердит любой математик — живут собственной идеальной жизнью, чистой и вечной. Неудивительно, что мусульманских ученых восхищала математика, которую они унаследовали от предшествующих цивилизаций: греческой, индийской, китайской. Вообще, ислам не поощряет одержимость физической формой. Но это вовсе не служит ограничением, наоборот, это всегда способствовало наиболее полному открытию творческих способностей и воображения великих ученых. Математика с ее миром абстрактных чисел является плодородной почвой для их интеллектуальных исканий, и чем больше они углубляются в ее тайны, тем большим смирением и восхищением проникаются от ощущения приближения к божественному.

Оказывается, что теория чисел, на самом деле, служит благим целям, особенно сегодня, когда первостепенной заботой стала безопасность. В частности, простые числа — очень большие, состоящие из ста и более цифр — лежат в основе криптосистемы, обеспечивающей защищенность нашей персональной информации в интернете. Эта система шифрования называется RSA по первым буквам фамилий ее изобретателей Рональда Ривеста (Ron Rivest), Ади Шамира (Adi Shamir) и Леонарда Адлемана (Leonard Adleman). Распределение простых чисел среди натуральных является предметом гипотезы Римана — возможно, самой важной нерешенной математической задачи на сегодняшний день (рис. ниже). Если связь между шифрованием и простыми числами не убедила практиков в важности «чистой» математики, то, возможно премия в 1 млн долларов, обещанная Институтом Клэя за доказательство гипотезы Римана, подогреет их интерес.

Источник: Muslim Heritage

1. Число p является простым тогда и только тогда, когда оно имеет не более двух делителей: 1 и само себя.

2. Число n в степени k (пишется nk) вычисляется умножением числа n на само себя k раз.

3. Напомним, что n!=n x (n–1) x (n–2)… x 1. Например, 5!=5х4х3х2х1=120.

4. Arabic mathematics: forgotten brilliance? J.J. O’Connor, E.F. Robertson.

5. Используя те же обозначения, число n является совершенным, если S(n)=n. Можно сказать, что совершенные числа являются частным случаем дружественных чисел.

6. Часто в процессе доказательства сложных теорем возникает необходимость введения промежуточных результатов, или утверждений, называемых леммами, которые тоже должны быть доказаны.

7. «Последняя теорема Ферма» гласит, что если n>2, уравнения вида xn+yn=zn не имеют ненулевых решений в целых числах. Теорему сформулировал французский математик Пьер де Ферма, предоставив потомкам титанический труд поиска доказательства, якобы ему известного, но, как гласит оставленная им заметка, не записанного из-за отсутствия места (Ферма имел обыкновение записывать свои идеи на полях читаемых книг). Правильное и полное доказательство было найдено только через 350 лет Эндрю Уайлсом в 1995 году.